"EXISTE" MUITAS ESPERANÇAS
Aqui virá no plural, meus queridos, pois o verbo "existir" é variável e, aqui, está acompanhado de algo no plural -> Ex.: Existem muitas esperanças.
Sendo variável, ele virá no singular quando estiver seguido ou antecedido de algo no singular -> Ex.: Existe muita esperança.
(1) COMPRIMENTO / (2) CUMPRIMENTO
(1) É a extensão de algo. -> Ex: o comprimento do seu cabelo é espantoso! Parece a Rapunzel!
(2) É o ato de cumprir ou é o nome dado a uma saudação. -> Ex: ele fez um pequeno cumprimento com a mão.