"EXISTE" MUITAS ESPERANÇAS

Aqui virá no plural, meus queridos, pois o verbo "existir" é variável e, aqui, está acompanhado de algo no plural -> Ex.: Existem muitas esperanças.
Sendo variável, ele virá no singular quando estiver seguido ou antecedido de algo no singular -> Ex.: Existe muita esperança.

(1 ) DESPERCEBIDO / (2) DESAPERCEBIDO

(1) Despercebido é sem atenção, imperceptível. -> Ex: isso passou despercebido.
(2) Desapercebido é igual a desprevenido ou desprovido de algo. -> Ex: ele estava desapercebido quando foi abordado por ladrões.