"HÁ MUITO TEMPO ATRÁS"

É uma construção redundante, meus queridos, como “entrar pra dentro” e “subir pra cima”. O “há” já me dá a ideia de passado; não havendo, portanto, a necessidade do “atrás”. Escolha um ou outro e seja feliz.

"EXISTE" MUITAS ESPERANÇAS

Aqui virá no plural, meus queridos, pois o verbo "existir" é variável e, aqui, está acompanhado de algo no plural -> Ex.: Existem muitas esperanças.
Sendo variável, ele virá no singular quando estiver seguido ou antecedido de algo no singular -> Ex.: Existe muita esperança.