Estudando para a prova

– Nossa, você e o Tiago devem ser grandes amigos. – disse Gabriela.

– Sim, é verdade. – respondeu Bruno.

– Esse jogo que ele te deu é muito legal.

– É, é mesmo.

– Será que posso te perguntar algo?

– Sim, claro.

– Você poderia me chamar para jogar por mais vezes? É tão divertido.

– Mas é claro. Eu só jogarei se for com você.

Nesse momento, Gabriela abraça Bruno, que diz enquanto acaricia o cabelo de Gabriela com sua mão direita:

– Não se preocupe. Não vou te abandonar.

– Obrigada.

Os dois se sentam à mesa da sala.

– Devemos estudar agora, certo? – disse Gabriela – As provas serão na próxima semana. Vamos estudar matemática. É o seu ponto fraco, né?

– Sim. – respondeu Bruno, engolindo sua própria saliva e mostrando seu medo e preocupação com as provas.

– Que tal se começarmos com a ”regra de 3”?

– A regra simples eu decorei, pois é fácil. A regra composta é que é difícil.

– Tudo bem, então. Talvez devamos fazer alguns exercícios para fixar o conteúdo. Eu faço o primeiro e te mostro como. O resto você resolve.

– Ok.

– Depois, revisaremos “funções do 1° e 2° graus”, certo?

– Certo.

Gabriela abre um livro de matemática e diz:

– Aqui estão os exercícios. Vou fazê-los para que você aprenda. Preste muita atenção. – Gabriela começou a ler o enunciado de uma questão – Dez pedreiros constroem quatro paredes em dois dias. Quantos serão necessários para construir seis paredes em três dias?

Bruno estava ligeiramente distraído.

– Ei, Bruno. Psiu!

– Ah, me desculpe. Eu estava distraído.

– O que foi?

– É o jogo. Não consigo pensar em mais nada.

– Eu te compreendo. Esforce-se um pouco, está bem?

– Sim.

Bruno leu a pergunta e, a pedido de Gabriela, fez um esquema de raciocínio.

Gabriela disse:

– Temos que comparar a quantidade de pedreiros com a de paredes e dias e verificar se são diretamente ou inversamente proporcionais.

– O quê?

– Deixe-me dar um exemplo: Com um número maior de pedreiros, constroem-se mais ou menos paredes?

– Mais paredes. Isso é óbvio.

–Então, podemos dizer que a quantidade de pedreiros e a quantidade de paredes são grandezas diretamente proporcionais (GDP), já que aumentam com a mesma proporção. E agora? Com mais pedreiros, há mais ou menos dias para completar o serviço?

– Menos dias! E então são grandezas inversamente proporcionais (GIP).

– Isso mesmo.

– Ah, aprendi muito bem.

– Agora, faça o seguinte: Crie uma seta vertical na coluna de pedreiros, porque a incógnita está nela.

– Para cima ou para baixo?

– Tanto faz, na verdade.

– Coloco para cima.

– Então, vamos imaginar um aumento de trabalhadores.

– O número de paredes é maior e o tempo menor.

– Certíssimo. A seta na coluna de paredes deve ser para cima e, na coluna de dias, para baixo.

– Já fiz.

– Agora transforme os dados em frações, isolando a fração com a incógnita. E inverta a fração de dias por ser de uma grandeza inversamente proporcional à de pedreiros.

– Como assim?

– Desta maneira, veja.

– Mas a resposta são 10 pedreiros? Não faz sentido.

– Faz, sim. Veja que o aumento de paredes a construir foi compensado com um tempo maior de serviço.

– As, sim. Entendi.

– Vamos para o segundo exercício.

– Sim.

– Cinco torneiras dão vazão a 10.000L em 2h. Quanto tempo é necessário para que duas torneiras deem vazão a 16.000L?

– Já fiz o diagrama. – disse Bruno.

– Certo. Agora compare as grandezas e veja se são GDP ou GIP.

– Já o fiz. Mais tempo, maior vazão de água e menos torneiras.

– Marque as setas. – disse Gabriela.

– Ok.

– Agora transforme os dados em frações, isole a incógnita e inverta a fração de GIP.

– A resposta é 8 horas?

– Sim. Muito bem, você acertou. Vamos fazer mais uma questão: Juliana lê 2 livros de 300 páginas em 4 dias. Em quantos leria 6 livros de 500 páginas cada?

– Pode deixar que eu faço sozinho.

– Já terminou? Qual a resposta?

– 20 dias?

– Sim. Parabéns.

– Obrigado. Agora resolvi minhas dúvidas nesta matéria.

– Ainda vamos revisar as funções de 1º e 2º graus.

– Podemos continuar.

– Vamos fazer algumas questões, certo?

– Certo.

– O gráfico a seguir – Gabriela lia um enunciado de uma questão – é de uma função afim f(x) = ax + b. Responda ao que se pede:

a) Os valores de a e b.

b) Os valores de f(11).

c) Os valores de x para que f(x) = -10.

– Eu, definitivamente, não sei como resolver isso. – disse Bruno.

– Tudo bem. Em primeiro, entenda que os valores de a e b pedidos no item a são os mesmos da equação y = ax + b. Para descobri-los basta substituir os valores de x e y. Quantos pontos temos no gráfico(linha azul)?

– Dois pontos.

– Pois bem, em cada ponto, substitua x e y na equação (y = ax + b) pelos valores de x e y nos pontos verificados. O ponto (0,9) toca o eixo y e, por isso, o valor de x neste ponto é 0. Substituindo os valores da equação, temos que b é igual a 9. Em qualquer gráfico, b é o valor de y no ponto em que o gráfico toca o eixo y. Agora substituímos b na equação principal: y = ax + 9. Encontraremos a ao usarmos o valor de b no segundo ponto do gráfico(3,0). Substituindo: 0 = a * 3 + 9 ; 3a = -9 ; a = -3.

– Agora precisamos resolver o item b: os valores de f(11).

– Já que temos a equação principal, f(x) = -3x + 9, vamos substituir x por 11, desta maneira.

– E o item c: os valores de “x” para que se tenha f(x) = -10.

– Desta vez, não vamos substituir x, mas y, e por -10.

– Ah, então é assim. – disse Bruno – Não deve ser tão difícil.

– Há ainda outro método para definir a e b, além da substituição. O valor de b é o valor de y quando a reta do gráfico toca o eixo y. O valor de a é igual a variação de y sobre a variação de x entre os dois pontos observados.

– Entendi. – disse Bruno.

– Agora, uma questão com operações de funções: Sendo h(x) = 3x + 2, f(h(x)) = - 4x + 5 e f(g(x)) = 6x – 7, determine:

a) A função f(x).

b) A função g(x).

c) O valor de “x” para que g(f(x)) = h(g(x)).

– Essa questão é bem difícil.

– Deixe-me te ajudar. No caso de f(h(x)), h(x) substitui o x da função f(x). Preste atenção em como vou resolver esse problema.

a)

b)

c)

– Entendi. – disse Bruno.

– Então faça esta questão:

Sendo f(x) = (x+2)/(x-3), f(g(x)) = (8-x)/(x+4) e h(g(x)) = (2x-3)/x, determine g(x) e h(x).

– Que bom que você conseguiu resolver a questão. Agora, vamos estudar a funções de 2º grau. Nesta questão, a seguir, temos um gráfico e temos que descobrir a lei, no formato y=ax²+bx+c.

– Eu não entendo isso.

– Não se preocupe. Eu te mostro. Primeira coisa: Como a curva do gráfico está aberta para o lado de baixo, o valor de a é negativo. Segunda: Como o vértice da curva está acima do eixo x, temos Δ>0 e duas raízes distintas nesta equação. Se o vértice estivesse exatamente no eixo x, teríamos apenas uma raiz e Δ=0. Se estivesse embaixo do eixo x, não teríamos raiz e Δ

O valor de x no ponto vértice é a metade da soma das raízes, ou seja, segundo a equação y =a(x - x’)(x - x”), temos:

6 = a(-3 + 7)(-3 - 1); 6 = a(4)(-4); a = -6/16 = -3/8

Substituindo a na equação y = a(x - x’)(x - x”), temos:

y = -3/8(x + 7)(x - 1) = -3/8(x² + 6x - 7) = -3x²/8 - 9x/4 + 21/8

y = -3x²/8 - 9x/4 + 21/8

– Agora repita este procedimento no exercício seguinte:

– Acertei? – perguntou Bruno.

– Acertou em cheio.

– Ah, que legal.

– Que bom que você aprendeu. – disse Gabriela.

– Ah, muito obrigado. Não conseguiria sem você.

– Obrigada. Então, terminamos de estudar. Vou embora agora. Amanhã é seu aniversário. Parabéns!

– Obrigado.

– Vai querer jogar de novo?

– Não vai dar. Meus pais ficarão em casa e, além disso, vou sair com meus amigos. Ah, se você quiser vir ao meu aniversário, a festa vai ser aqui, amanhã, às 15h.

– Bem, vejo você na festa, então.

– Até amanhã. – disse Bruno, abraçando-a e se despedindo.

Gabriela saiu da casa de Bruno e foi para o seu apartamento. Leandro, seu irmão mais novo, lhe chamou:

– Ei, “maninha”. Onde você estava?

– Na casa do Bruno.

– E o que fez lá?

– Joguei e estudei com ele.

– Ah, legal. Qual jogo?

– Hum...gates to infinity... Algo assim, não me lembro.

Leandro estava usando um notebook e fez uma rápida pesquisa na internet. Disse então:

– Você quer dizer: Pokémon Mystery Dungeon?

– Sim, exatamente isso.

– E qual seu personagem?

– Gardevoir.

– Nunca ouvi falar. E o do Bruno?

– Lucario.

– Ah, esse eu conheço. É um lobo azul, certo?

– Isso mesmo.

– Interessante. – Leandro continuou sua pesquisa.

– Ah, já que você está interessado, você me faria um favor?

– Sim, claro.

– Me ajude a pesquisar e encontrar tudo sobre este jogo. É que eu quero criar uma boa estratégia, escolher os melhores ataques e itens.

– Eu posso fazer isso. Conte comigo.