"EXISTE" MUITAS ESPERANÇAS

Aqui virá no plural, meus queridos, pois o verbo "existir" é variável e, aqui, está acompanhado de algo no plural -> Ex.: Existem muitas esperanças.
Sendo variável, ele virá no singular quando estiver seguido ou antecedido de algo no singular -> Ex.: Existe muita esperança.

(1) TODO / (2) TODO O

(1) "Todo" ou "toda" (sem artigo) significa “qualquer”. -> Ex:“Todo país deve preservar a natureza”. (= qualquer país, todos os países)
(2) "Todo o" ou "toda a" (com artigo) significa “inteiro”. -> Ex: “Neste domingo, haverá vacinação em todo o país”. (= no país inteiro)